Résumé article : la série entière Historique de Hardy





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Résumé article : la série entière Historique de Hardy

Vidiani (Dijon) Version 14 03 08 11h25
 

Voici l'article "la série Entière de Hardy"

La recherche et la  quête et l'obtention de certains documents bibliographiques pour vérification d'une étude éventuelle antérieure par Hardy, dans ses années de jeunesse, m'ont pris beaucoup de temps, mais je ne le regrette pas vu ce que j'ai découvert, en particulier sur les conséquences de la rareté sur le mercantilisme.


 
 
@+ LGV
http://coup-de-pouce.be/textes.php?show=68 (couverture partagée)
site (en construction)  http://lg_vidiani.club.fr/index.htm
 
*** 18 Articles sur site : http://www.dma.ens.fr/culturemath/maths/html/juel/juel.html  ***

 

 

----- Original Message -----

From: Georges Vidiani

To: Georges Vidiani

Sent: Sunday, January 13, 2008 3:31 PM

Subject: Fw: Résumé annonce de l'article : Une série entière historique ! version 13 janvier 2008
 

Version 13 Janvier 2008

 

 

Mme Proust voilà le préambule de "une série entière historique) où j'ai mis pas mal de choses en particulier sur la numérisation

 

Voici l'en tête résumé de cet article (j'y mets beaucoup de choses, pour que les liens soient actifs, ce qui facilite le report du lecteur, contrairement au pdf où il est obligé de copier le lien pour le reporter dans la bande adresse des sites pour y avoir accès)

 

*********************************************************************************************************

 

Avertissement au lecteur : ce préambule est assez long, car vues la richesse et la multiplicité des liens qu'implique le sujet, j'ai tenu à mettre tous les liens accessibles par simple click, pour faciliter la consultation par le lecteur (merci LGV disent les lecteurs), en effet sous le format pdf les liens ne sont pas actifs et il faut les copier coller dans la ligne d'adresse des sites pour y avoir accès.

 

                                            Une série entière historique ! La série de HARDY;

 

Il ne faut jamais dire "Fontaine je ne boirais plus de ton eau", ou dire qu'une piste est close : en sciences tout travail reste ouvert, contrairement aux travaux de maçonnerie ou les visages humains, ou des oeuvres d'art,  dont il faut "réparer des ans l'irréparable outrage" (Athalie dans Andromaque de Racine). Je viens d'en faire la passionnante expérience :

 

Je croyais tout savoir, comme les ignorants (nombreux à notre époque) qui ignorent leur ignorance, sur le rayon de la série entière de terme géneral , avec y=racine de 2,

 objet du problème des Mines 1961, et repris périodiquement dans de nombreuses questions d'oral ou dans des livres d'exercices corrigés, par exemple, dans le fondamental "exercices d'analyse" (Masson année phare "1968") par Râmis, quand une discussion (juin 2007) sur le forum ups-math entre professeurs de mathématiques spéciales, attira l'attention sur la planche 27-I de l'officiel de la taupe (odlt@odlt.fr), posée en 2006 à l'école Polytechnique :

Quel est le rayon de la série entière de terme général   , où y est réel non

 

 

rationnel ?  Le racine de  2 du sujet des Mines 1961 est remplacé par y réel non rationnel p/q (s'il l'était, le dénominateur serait nul pour tous les n de la forme kq, et le terme général de la série, non défini). Et cela change tout car comme nous allons le voir si y est algébrique non rationnel, le rayon est 1, tandis que s'il est transcendant, on peut le choisir tel que le rayon soit tout nombre donné entre 0 et 1.

 

Le théorème ergodique ponctuel de Birkhoff  (1932)

(http://fr.wikipedia.org/wiki/George_David_Birkhoff, http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_ergodique, dont une démonstration est par exemple dans le livre d'exercices de mathématiques pour l'Agrégation (ne pas oublier le A majuscule) analyse 1 par Chambert-Loir Fermigier, Maillot (Masson 1994 p 177-180 et p 133-136), mais aussi en  http://perso.univ-rennes1.fr/yves.coudene/2.ps ), permet de démontrer que le rayon cherché est 1, pour "presque tout y", c'est à dire pour tout y de R privé d'un ensemble négligeable. Ce qui fait que les y pour lesquels le rayon sera un nombre choisi entre 0 et 1 seront "bizarres" et sporadiques.

 

Un interlocuteur du forum a cité alors le livre http://www.editions-ellipses.fr/fiche_detaille.asp?identite=2962, remarquable où un article de Queffélec p 127-138, montre que ce résultat a été rappelé et considéré comme "connu" dans les premières lignes d'un articles par Hardy en 1946.

 

Le départ du problème est essentiellement la formule d'Hadamard pour le rayon d'une série entière    http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Hadamard.html

http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_enti%C3%A8re

 

 Je ne résiste pas à vous évoquez le fabuleux rébus d'Hadamard qui inspira Colomb

http://fr.wikipedia.org/wiki/Georges_Colomb

pour son savant Cosinus (une fois il parti en montagne avec son épouse, il redescendit en ayant oublié sa moitié) : http://poissonvolant.monblogue.branchez-vous.com/2004/12/11 et surtout  http://www.dma.ens.fr/culturemath/maths/pdf/analyse/vidiani_hadaq.pdf

 

Il y a de multiples cours sur les fractions continues, nous ferons référence au cours mis en ligne sur l'encyclopédie wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue,

où c'est essentiellement le théorème 5 qui sera utile.

Vous remarquerez que dans les exemples de nombres ayant un développement périodique, il y a le nombre d'or, qui a même un tel développement le plus simple (il n'y a que des 1). Il n'est pas sans intérêt de remarquer que ce nombre intervient en dynamique du système solaire comme le montre le travail de Jean-Marie Souriau (http://www.jmsouriau.com/)

http://www.jp-petit.com/science/gal_port/souriau.htm et la relation de son travail : http://www.jp-petit.com/science/f700/f701.htm où l'on trouve une mesure de l'irrationalité d'un nombre (due à Liouville, Hurtwitz, Borel) et l'on constate que le nombre d'or est le "plus irrationnel possible". Ce document est maintenant accessible sur

le site de Jean Marie Souriau en "Grammaire de la Nature" disponible sur www.jmsouriau.com

http://www.jmsouriau.com/Publications/Grammaire%20de%20la%20Nature/JMSouriau-GrammaireDeLaNature8juillet2007-complet.pdf

en la page 102.(sur 275).

 

 

 

Je ne résiste pas au plaisir de vous y signaler le théorème surprenant de Kinchin (ou parfois écrit Kintchine) http://fr.wikipedia.org/wiki/Alexandre_Iakovlevitch_Khintchine (indiqué 8 lignes juste avant le paragraphe regroupant les théorèmes utiles) : sur R sauf sur un ensemble de mesure nulle la moyenne géométrique des a_i du développement d'un tel réel x, tend vers une constante (de Kinchin) indépendante donc du nombre x. La démonstration en 22 pages de Khintchine faite en 1934 est accessible sur le web en

 

http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1935__1__361_0 ;

je vous conseille de choisir le format pdf et comme je l'ai fait toute ma carrière de toujours choisir

pour comprendre une découverte, l'auteur initial : par exemple pour la théorie des distributions se référer aux oeuvres de Laurent Schwartz, car seul l'inventeur a une vue d'ensemble, les suivants étant sauf exception des plagiaires.

 

Enfin concernant la série historique, objet de l'article, il faut savoir que Hardy et Littlewood on même écrit un article en novembre 1945 "Notes on the theory of series (XXIV) : a curious power-series" paru dans Proc. Cambridge philos. Soc. 42, p 85-90 (1946) dont le numérisé pdf après que je l'ai obtenu par la voie "bibliothèque" universitaire est joint à ce résumé, où les auteurs  montrent que le rayon de la nouvelle série entière obtenu à partie de la série historique (à laquelle ils font seulement allusion dans les premières lignes, la considérant comme "familière" ainsi que son rayon), en remplaçant le sinus du dénominateur par le produit   

 

est  égal à la moitié de celui de la série historique.

 

Il n'est pas possible d'évoquer le travail d'Hardy http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Hardy.html

et Littlewood http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Littlewood.html, (leur collaboration dura 35 ans durant lesquels ils écrivirent 110 articles en commun d'après le site

http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/hist_mat/textes/sour_mat.htm, qui le tient de la page 12-13 du livre de Casiro : Les Kangourous de Poincaré édition ACL 1997 qui le tire du livre : Jim Biars Berkekey Systems Littlewood's miscellary (Béla Bollodas)) sans donner des liens historiques, ni de rappeler que Hardy est le découvreur de Ramanujan http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Ramanujan.html, http://www.les-mathematiques.net/histoire/histoire_rama.php3, http://fr.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan et enfin

http://www.usna.edu/Users/math/meh/ramanujan.html, http://www.bibmath.net/bios/index.php3?action=affiche&quoi=ramanujan, pour ne citer que les liens plus historiques que techniques.

 

Le lecteur trouvera de multiples renseignements dans les articles sur Ramanujan dans Quadrature 30, 45-47 et dans l'ouvrage Hardy l'apologie d'un mathématicien (Belin 1985) qui est dans le domaine public en anglais : http://www.math.ualberta.ca/~mss/books/A%20Mathematician's%20Apology.pdf.

 

Il suffit d'ailleurs de taper sous google Srinivasa Ramanujan, pour découvrir des sites avec son passionnant historique et son génie pour découvrir des formules qui sont constamment utilisées en mathématiques pointues.

 

****************************************************************************************************

Parenthèse sur l'accès aux documents scientifiques et playdoyer argumentaire sur la numérisation.

 

La recherche pour mettre  la touche finale -hélas négative- (savoir si par hasard, Hardy n'aurait pas traité cette série, qu'il considère comme "bien connue", dans ses 44 interventions dans Educational Times de 1899 à1917 dont la liste se trouve dans la table des matières collationnant tous les travaux de Hardy [414 articles parmi lesquels j'ai dénombré 96 articles et non 110 en commun avec Littlewood, 7 avec Ramanujan, 9 avec Titchemarsh, 7 avec Rogosinscki,, et de manière au moins unitaire voire plus avec Bronwich; Chapman, Carleman, Landau, Bochner, Ingham, Wright, Levinson, Aronszajn, Polya], dans le tome 7 (1979) de ses "collected papers of Godfroy Harold Hardy" (Larendon Press 1966-1979), et qui sont toutes collationnées dans le chapitre 3 de ce même tome) à cet article m’a fait découvrir un effet marchand, conséquence de la rareté ou de la difficulté d’accès à un ouvrage spécialisé.

 

Il s’agissait de consulter ou de d’obtenir des photocopies (à mes frais) de certaines pages du septième tome des œuvres du mathématicien Hardy, normalement cet accès devrait, vu la notoriété de cet auteur, être facile par l’intermédiaire des bibliothèques universitaires : or il en était absent comme j’ai pu le constater par le dite « sudoc », et heureusement le problème fut résolu pour moi, par l’intermédiaire d’un collègue de Strasbourg, qui avait accès à une bibliothèque « réservée » aux professeurs, et que je remercie, mais le problème est plus général et cette rareté de fait, conséquence d’imprévoyance, manque d’anticipation, voire d’incompétence, de laisser faire, d’incurie, soit je n’ose l’envisager de malignité de laisser s’organiser la pénurie, a pour conséquence « marchande » que par le web on trouve la collection complète des 7 tomes évoqués entre 4000 USD et 6163.08 EUR (le 6 1 08) (oui vous avez bien lu, il n’y a pas de faute de frappe) comme on peut le vérifier par exemple en

http://www.abebooks.fr/servlet/BookDetailsPL?bi=890782017&searchurl=an%3DHardy%26sortby%3D3%26sts%3Dt%26tn%3Dcollected%2Bpapers%26x%3D48%26y%3D9 ;

le prix était même 6675.65 EUROS le 7 décembre 07. Sur le site adall on la trouve même à

9483.65 USD !!!!
Que ce soit bien clair, je ne jette pas l’opprobre, bien au contraire, sur l’édition et heureusement qu’il y a des livres ou des revues spécialisées, édités et accessibles à un prix raisonnable, juste récompense et reconnaissance d’une part du travail de création de l’auteur et de la réalisation matérielle de l’imprimeur et de mise à disposition du plus grand nombre par le distributeur. Cette possibilité permet d’ailleurs a des jeunes ou adultes isolés de se cultiver et de progresser. La mentalité mercantile incite au contraire à acheter des cigarettes ou des gadgets inutiles, alors que l’achat d’un livre ou l’abonnement à une revue permet de progresser intellectuellement et la consultation même à deux heures du matin pour fixer un point que la mémoire avait oublié. La vraie culture ce n’est pas (que) le sport ! (souvent « mercantilisé »). L’argent est un bon serviteur et un mauvais maître (« rouge, une masérati rouge !... »).
Mais il importe d’organiser ce qui dépend des institutions de façon à réduire au maximum l’influence marchande, et de ne pas laisser prise à la confiscation de l’information et du savoir en laissant s’organiser la rareté ou le cloisonnement de l’accès.
Un des moyens me semble être la numérisation, et la France et plus généralement l’Europe a prix un retard important sur les pays anglo-saxons qui ont su prendre à temps le virage de la modernité dans ce domaine (l’Université Mellon aux USA a déjà numérisé 1,5 millions de livres ; parmi ceux-ci 783 seulement sont en langue Française…). L’accès gratuit sur le web aux oeuvres complètes (14 tomes) du mathématicien Cayley me semble un exemple phare (contrairement à celui mercantilisé à celles de Hardy).

Les 14 volumes numérisés sont en accès libre en http://www.archive.org/search.php?query=the%20collected%20papers%20cayley (ils sont aussi en accès libre ailleurs) ; vous pouvez même choisir votre format (par exemple pdf) ; il a écrit 967 articles  : hallucinant, Cayley a écrit une dizaine l'articles de 10 pages par an pendant trente ans, une moitié en anglais et l'autre en français.

 

Il y a beaucoup d’arguments en la faveur de la numérisation d'accès libre  : l’accès (au plus grand nombre et pas seulement aux bibliothèque d’écoles ou réservées aux professeurs) aux ouvrages rares, la quasi suppression du risque de dégradation et du vol par exemple on ne numérise qu’une fois un ouvrage incunable ou rare nécessitant l’utilisation d’une photocopieuse à angle, la quasi annihilation de la volonté de rétention d’informations, l’empêchement de la surenchère mercantile sur les ouvrages dont on a laissé s’organiser la rareté.
De plus les bibliothèques qui ont numérisé peuvent envoyer les pages demandées par mail après payement sécurisé (mais modique, juste contrepartie du travail de recherche du fichier et de la numérisation initiale), d’où gain de temps à tous points de vue et évitement des grèves postales…. ; il y a également gain de travail puisque l’ouvrage une fois (bien) numérisé n’a pas à être photocopié de nouvelles fois. Bien sûr le travail d’archivage comprend la sauvegarde des fichiers en plusieurs exemplaires pour éviter l’argument primaire en cas de perte « c’est la faute à l’informatique ».

Attention aussi à ne pas laisser se mercantiliser cette accès aux documents numérisés comme on le constate sur le web, certains malins ayant mis la main sur des documents introuvables dont ils monnayent l’accès numérisé au prix fort.

 

Fin de la parenthèse numérisation.
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En prime j'ai joint un programme Maple (*) dû à Alain Esculier (que je remercie) permettant de tracer le graphe des sommes partielles d'indice 1000, suivant plusieurs valeurs irrationnelles de y, ce qui permet de visualiser l'influence de y.

La mise au format pdf est due à Michel Quercia que je remercie également.

 

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 (*) Au besoin me le demander par mail.

 

@+ LGV
http://coup-de-pouce.be/textes.php?show=68 (couverture partagée)
site (en construction)  http://lg_vidiani.club.fr/index.htm

 

*** 18 Articles sur site : http://www.dma.ens.fr/culturemath/maths/html/juel/juel.html  ***

 

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